Российские математики смоделировали вихрь

14.11.2017

Новый численный метод решения уравнений Навье—Стокса, описывающих нелинейные процессы в жидкостях и газе, в частности вихри Ренкина, разработали российские математики. Работы проводились в исследовательском центре «Информатика и управление» РАН. Статья опубликована в Mathematics and Computers in Simulation.

Уравнения Навье—Стокса применяются для описания движения вязкой несжимаемой жидкости или газа. Это довольно сложная система из четырех дифференциальных уравнений: три уравнения на проекции уравнения движения сплошной среды и еще одно уравнение непрерывности. Сложность системы заключается в том, что она нелинейная и сильно зависит от начальных и граничных условий.

Аналитически уравнения Навье—Стокса можно решить только в некоторых частных случаях. Проблема существования и гладкости решений этих уравнений — одна из семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя назначил приз в миллион долларов. Интересно, что в 2014 году казахский математик Мухтарбай Отелбаев сообщал о решении этой задачи, однако впоследствии в его работе были найдены серьезные ошибки. После этого лауреат Филдсовской премии Теренс Тао опубликовал препринт, в котором рассмотрел все методы решения, доступные на тот момент математикам, и показал, что с их помощью решить задачу тысячелетия невозможно.

Однако дифференциальные уравнения не обязательно решать аналитически. В некоторых случаях численные методы тоже позволяют получать качественные предсказания. При таком подходе система дифференциальных уравнений представляется в виде системы алгебраических уравнений, решать которую гораздо проще.

Российским математикам Андрею Толстых и Михаилу Липавскому удалось снизить количество вычислений и более точно смоделировать вихревые процессы. Их работа позволит точнее моделировать вихри и другие турбулентные течения — например, она поможет снизить уровень шума, возникающего при обтекании воздухом крыла самолета.