Философ пространства

17 Сентября
Философ пространства
Георг Фридрих Бернхард Риман выдающийся немецкий математик, механик и физик
Wikipedia

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким Риману человеком, оставившим подробные, но короткие воспоминания.


Догадка Римана, которую еще не доказали

В августе 1859 года Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук; это была большая честь для тридцатидвухлетнего математика. В согласии с традицией Риман по такому случаю представил академии работу по теме исследований, которыми он был в то время занят. Она называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины».

Исследование распределения простых чисел, предпринятое Риманом, имело большой резонанс. Он дал интегральное представление дзета-функции (ζ-функция Римана):


ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + …


исследовал ее полюса и нули, вывел приближенную формулу для оценки количества простых чисел. Гипотеза, высказанная Риманом, гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 12.

Гипотеза Римана, как стали называть эту догадку, оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив все без исключения попытки доказать ее или опровергнуть. Эта одержимость гипотезой Римана стала сильна как никогда после того, как были успешно решены другие великие проблемы: теорема о четырех красках (сформулирована в 1852 году, решена в 1976-м), последняя теорема Ферма (сформулирована, по-видимому, в 1637 году, доказана в 1994-м), гипотеза Пуанкаре (сформулирована в 1904-м, доказана российским математиком Григорием Перельманом в 2002–2003-м), а также многие другие, менее известные за пределами мира профессиональных математиков.

magnifier.png Гипотеза Римана оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив все попытки доказать ее или опровергнуть

Вот что говорил Давид Гильберт, один из виднейших математических умов своего времени, обращаясь к Второму Международному конгрессу математиков в 1900 году: «В теории распределения простых чисел Адамаро, де ля Валле Пуссен, фон Мангольдт и другие в последнее время совершили существенные сдвиги. Но для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана “О числе простых чисел, не превышающих данной величины”, необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана». Он же, отвечая на вопрос, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется, сказал, что самым первым делом он спросит, доказана ли гипотеза Римана.

Если гипотеза Римана будет доказана, это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности интернета. Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 1013 первых решений.


Предваряя Эйнштейна

В знаменитом докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определенной квадратичной формы. Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом впервые появился тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии».

Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трехмерной евклидовой. В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах.

Риман создал общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них «римановы поверхности». Он использовал не только аналитические, но и топологические методы; позднее его труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии.

magnifier.png Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности

Его труд «Теория абелевых функций» был важным шагом в развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввел понятие рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления функции.

Вслед за Коши Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввел свое определение — интеграл Римана. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье.

Исследования Римана в области механики относятся к изучению динамики течений сжимаемой жидкости (газа) — в частности, сверхзвуковых. Наряду с К. Доплером, Э. Махом, У. Дж. Ранкином и П.-А. Гюгонио Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики.

Риман предложил метод аналитического решения нелинейного уравнения, описывающего одномерное движение сжимаемой жидкости. Фактически он создал общий метод для расчета течений газов в предположении, что они зависят только от двух независимых переменных.

magnifier.png Образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически — в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа

Риман нашел точное общее решение нелинейных уравнений одномерного течения сжимаемого газа (при условии его баротропности).

Именно Риману механика обязана понятием об ударных волнах. Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически — в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа (среди которых, как выяснилось, имеются решения с подвижными поверхностями сильного разрыва).


От рождения до университета

Георг Фридрих Бернхард Риман родился 17 сентября 1826 года в деревушке Брезеленц королевстве Ганновер. Королевство Ганновер было образованием достаточно странным, потому что король там фактически отсутствовал. Дело в том, что ввиду сложных династических причин он одновременно являлся королем Англии. Все четыре первых короля, именуемых в Англии «ганноверскими», носили имя Георг. Четвертый из них сидел на троне и в 1826 году, когда появился на свет главный герой нашей истории. Восточная часть королевства, где известна под названием Вендланд; «вендами» называли славянские народы, жившие в этих землях. Вендланд был самой западной точкой, достигнутой славянами в ходе Великого переселения народов в IV–VII веках. Само название Брезеленц происходит от слова «береза». Славянские наречия и фольклор сохранились там до Нового времени, однако с самого конца Средневековья в Вендланде постоянно оседало немецкое население, и ко временам Римана это в значительной степени определило его состав.

Отец Римана Фридрих Бернхард Риман был лютеранским священником и ветераном войн с Наполеоном. Уже в зрелом возрасте он женился на Шарлотте Эбелль.

Когда Бернхард был еще ребенком, его отец получил новый приход в Квикборне, в нескольких милях от Брезеленца. Квикборн и сегодня сонная деревня, состоящая из обшитых деревом домов и в основном немощеных улиц, по краям которых растут мощные старые дубы. Там семья и жила до смерти старшего Римана в 1855 году.

РИМАН КВИКБОРН.png
Квикборн и сегодня сонная деревня, состоящая из обшитых деревом домов и в основном немощеных улиц, по краям которых растут мощные старые дубы. На фотографии слева вверху Pfarrhaus – дом приходского священника
wendland-archiv.de

В Квикборне не было гимназии, и Риман начал по-настоящему учиться в школе лишь в четырнадцатилетнем возрасте, что соответствовало четвертому классу гимназии. До этого Римана обучал отец при некотором содействии деревенского учителя по фамилии Шульц. Сама гимназия находилась в Ганновере, в 80 милях от Квикборна, но там жила бабушка Бернхарда, и это позволяло семье сэкономить на плате за проживание.

Риман не был хорошим учеником. При его складе ума он мог сосредоточиваться только на вещах, которые он находил интересными; по большей части это была математика. Кроме того, он был перфекционистом: ему важнее было написать безупречное сочинение, сколько бы времени это у него ни заняло. Чтобы подтянуть его успеваемость, директор устроил так, что Риман поселился вместе с учителем древнееврейского языка. Заботами этого господина Риман настолько улучшил успеваемость, что в 1846 году его приняли в Геттингенский университет на богословский факультет. Предполагалось, что он станет священником, как и его отец.

Одно существенное обстоятельство делало Геттингенский университет привлекательным местом для молодого Римана: это был университет Карла Фридриха Гаусса, величайшего математика своего времени.


Становление математика

Когда Риман прибыл в Геттинген, Гауссу было 69 лет. Его лучшие работы были уже сделаны, а преподавал он немного, считая это пустой тратой времени. Известно, что Риман, который к этому моменту уже заразился вирусом математики, ходил на лекции Гаусса по линейной алгебре и на лекции Морица Штерна по теории уравнений. В какой-то момент Риман признался отцу, что его куда более интересует математика, нежели теология, и добрый родитель признал выбор сына. Так Бернхард Риман стал математиком.

РИМАН ГЕТИНГЕН.png
Геттингенский университет, где преподавал Карл Фридрих Гаусс, величайший математик своего времени
Wikipedia

Друг Римана Рихард Дедекинд в своих воспоминаниях, написанных спустя десять лет после смерти великого математика, описывает его как чрезвычайно застенчивого человека, который избегал контактов настолько, насколько это удавалось, и неуютно чувствовал себя в кругу других людей. Все его привязанности были в семье, а какие бы то ни было другие связи, если и возникали, касались математики и математиков. Когда он находился вдали от семьи, от дома отца в его приходе Квикборн, он страдал от тоски.

РИМАН ГАУСС.png
Карл Фридрих Гаусс, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»
Wikipedia

Риман был очень набожным, в духе немецкого протестантизма. По его убеждению, как пишет Дедекинд, суть религии заключается в том, чтобы «ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа». При этом он глубоко размышлял о философии и рассматривал свою работу в сфере математики в более широком философском контексте. В «Словаре научных биографий» известный голландский математик Ханс Фрейденталь писал о Римане: «Один из глубочайших и наиболее одаренных воображением умов среди математиков всех времен, он испытывал сильную тягу к философии и на самом деле был великим философом. Если бы он жил и творил дольше, философы признали бы за ним членство в своем цехе».

magnifier.png «Один из глубочайших и наиболее одаренных воображением умов среди математиков всех времен, он испытывал сильную тягу к философии и на самом деле был великим философом»

Из воспоминаний Дедекинда ясно, что Риман был подвержен наплывам очень глубокой печали, в особенности после смерти отца, которого он боготворил. Справляться с этим он мог, только погружаясь в работу.

Риман, как пишет Дедекинд никогда не отличался хорошим здоровьем; особенно разрушительное влияние на него оказали долгие годы лишений, которым в те времена бедному человеку приходилось подвергать себя, если он намеревался получить высшее образование.

Уровень образования в Геттингенском университете не удовлетворял Римана. Даже великий Гаусс в 1846–1847 годах читал в Геттингенском университете в основном элементарные курсы. В поисках более серьезных возможностей Риман перевелся в Берлинский университет. Два года, проведенные в этом университете, где его наставниками были лучшие математические умы Германии, привели Римана к полной математической зрелости.

РИМАН ШТЕРН.png
Мориц Абрахам Штерн, немецкий математик. Был первым еврейским профессором в немецком университете
Wikipedia

Неизвестно практически ничего о бытовой стороне жизни Римана в берлинский период. Дедекинд сообщает только об одном достойном упоминания инциденте. В марте 1848 года берлинская толпа, разгоряченная февральской революцией в Париже, вышла на улицы, требуя объединения германских государств в единую империю. Возводились баррикады, солдаты пытались их снести, пролилась кровь. Прусский король Фридрих-Вильгельм IV был в растерянности и отправил армию назад в казармы, оставив дворец незащищенным. Тогда студенты университета образовали верные власти караульные отряды для защиты короля, и Риман нес службу в таком карауле в общей сложности 28 часов.


Прорыв к славе

Его диссертация 1851 года «Основания теории функций комплексной переменной», где впервые было введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность, ныне рассматривается как классический математический труд XIX столетия, но в момент своего появления она не привлекла большого внимания, несмотря на энтузиазм, который выказал Гаусс. Другие работы, написанные Риманом в начале 1850-х, не получили широкой известности и были опубликованы в доступном для публики виде только после его смерти. Относительная известность пришла к Риману благодаря его лекциям, но и тут таилась сложность: значительная часть их содержания слишком опережала время, чтобы его должным образом оценили.

РИМАН ДЕДЕКИНД.png
 Рихард Дедекинд, автор воспоминаний о Римане
Wikipedia

В 1854–1866 годах он работает в Геттингенском университете. Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора, Риман по уставу должен был выступить перед профессорским составом. Осенью 1853 года Риман читает в присутствии Гаусса исторический доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», с которого ведет свое начало риманова геометрия. Доклад, впрочем, не помог — Римана не утвердили. Однако текст выступления был опубликован (хотя и с большим опозданием — в 1868 году), и это стало эпохальным для геометрии событием. Все же Риман был принят приват-доцентом Геттингенского университета, где читал курс абелевых функций.

«Годом прорыва» Римана стал 1857-й. Он опубликовал работу по анализу, наконец получившую признание как существенный вклад в науку. Называлась она «Теория абелевых функций».

К концу 1850-х годов блеск и оригинальность работ Римана стали известны математикам почти по всей Европе. И о Геттингенском университете, который в начале 1850-х слыл прежде всего университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана.

magnifier.png К концу 1850-х работы Римана стали известны математикам почти по всей Европе. И о Геттингенском университете, который слыл университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана

Тридцатого июля 1859 года Риман получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование. Эта должность наконец принесла ему достаточные средства, чтобы жениться. Женился он три года спустя на Элизе Кох, подруге своей старшей сестры.

Скоро последовали и другие успехи. В августе того же года Риман был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Основанием послужили те две единственные работы, которые пользовались известностью: диссертация 1851 года и работа 1857 года по абелевым функциям. Избрание в члены Берлинской академии наук было огромной честью для молодого математика. Как было уже сказано выше, по традиции, новоизбранный член представлял в академию оригинальную работу по теме своих исследований. Работа, которую представил Риман, называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины».

РИМАН КОХ.png
Элиза Кох, жена Римана
Wikipedia


Последние годы

В последние годы своей недолгой жизни Риман был удостоен многочисленных почестей, получил признание ведущих ученых, был избран членом различных научных обществ, в том числе Лондонского королевского общества и Французской академии наук.

Бернхард Риман умер 20 июля 1866 года, не дожив нескольких недель до своего сорокалетия. Осенью 1862 года он подхватил очень сильную простуду, ускорившую развитие туберкулеза, которым он, по-видимому, страдал с детства. Коллеги по Геттингену выхлопотали Риману несколько правительственных субсидий, которые позволили ему перебраться в более благоприятный климат, Последние четыре года своей жизни Риман почти полностью провел в Италии. Умер он в Селаске, на западном берегу Лаго-Маджоре в Пьемонтских Альпах. Существует легенда, что служанка, убиравшая после его смерти его кабинет, выкинула много незаконченных рукописей, которые могли обогатить математическую науку новыми достижениями. Посмертный сборник трудов Римана, подготовленный Дедекиндом, содержал всего один том.