Для участия в IV Конференции математических центров России — самом представительном математическом мероприятии в стране — в Петербург прибыли более 500 ведущих отечественных математиков. С 6 по 11 августа они приняли участие в 15 пленарных заседаниях, где представили свои недавние работы. Каждое из таких выступлений, по мнению участников конференции, стало настоящим научным событием. На конференции также было сделано более 380 специализированных секционных докладов по всем основным математическим направлениям, таким как алгебра, алгебраическая геометрия, вещественный, комплексный и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, математическая физика, теория вероятностей, геометрия и топология, математическая логика, теоретическая информатика, дискретная математика, прикладная математика, а также история математики и математическое образование.

Участники конференции, среди которых были представители Российской академии наук, директора и сотрудники научно-исследовательских институтов, преподаватели и студенты высших учебных заведений, не обошли вниманием и проекты, направленные на внедрение в экономику инновационных исследований и практических разработок, например квантовых вычислений и методов машинного. Активно обсуждались и проблемы популяризации математики и привлечения в науку молодежи.

Организаторами конференции стали Отделение математических наук РАН, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН и Санкт-Петербургский государственный университет. Сопредседателями программного комитета конференции выступили академик-секретарь Отделения математических наук РАН Валерий Козлов и руководитель математического центра мирового уровня — Санкт-Петербургского международного математического института им. Леонарда Эйлера» — академик РАН Сергей Кисляков. В составе программного комитета конференции работали заместитель академика-секретаря Отделения математических наук РАН Дмитрий Орлов, академик РАН, директор Института математики и механики (ИММ) им. Н. Н. Красовского УрО РАН Николай Лукоянов, академик РАН, главный научный сотрудник Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН Искандер Тайманов, член-корреспондент РАН, директор Института прикладной математики (ИПМ) им. М. В. Келдыша РАН Александр Аптекарев, академик РАН, директор Института математики и компьютерных наук Дальневосточного государственного университета Михаил Гузев.

Член программного комитета конференции, профессор РАН, заместитель директора по научной работе Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН Дмитрий Запорожец

Оргкомитет IV конференции математических центров России

Самый высокий уровень

Конференции этого формата проводятся с тех пор, как в 2019 году, в соответствии с указом президента РФ Владимира Путина, в России в целях осуществления прорывных исследований фундаментального характера в области математических и смежных наук были созданы четыре математических центра мирового уровня. Со временем к ним было добавлено еще 12 региональных научно-образовательных математических центров, расположенных в самых разных городах страны, от Дальнего Востока до Калининграда, включая новые территории. Министр науки и высшего образования Российской Федерации Валерий Фальков в приветственном слове к участникам конференции отметил, что созданная в рамках национального проекта «Наука и университеты» сеть математических центров охватывает все федеральные округа нашей страны. В 2023 году она дополнилась еще одним, Азово-Черноморским математическим центром, созданным на базе научных и образовательных организаций, расположенных на территории Донецкой Народной Республики и Республики Крым.

Как сказал «Стимулу» член программного комитета конференции, профессор РАН, заместитель директора по научной работе Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН Дмитрий Запорожец, эта конференция — «самое главное математическое мероприятие в нашей стране». В мировом масштабе ей соответствует Международный конгресс математиков, который СПбГУ планировал принять в 2022 году, но по политическим причинам мероприятие перевели в гибридный формат и передали организацию одной из европейских стран.

Дмитрий Запорожец поделился информацией о том, как программный комитет определил пленарных докладчиков конференции: «У нас действует негласное правило, что пленарные докладчики — это активные ученые, молодые — до 50 лет. Они должны быть известными в нашей стране математиками, иметь публикации в хороших журналах, получать всемирно признанные результаты в своих математических направлениях. Пленарные доклады должны быть тематически разнообразными. Мы стараемся, чтобы докладчики не повторялись: на каждой конференции математических центров выдвигаются новые кандидатуры».

«Конференция стала очень ярким событием в научной жизни страны. Проект математических центров очень важен для достижения национального технологического суверенитета, — прокомментировал в беседе со «Стимулом» значение мероприятия Сергей Безродных, член программного комитета, заместитель академика-секретаря Отделения математических наук РАН, член-корреспондент РАН, организатор секции “Уравнения с частными производными, математическая физика и спектральная теория”. — Без фундаментальных и прикладных исследований нет современных технологий. Математические науки играют особую роль и являются неотъемлемой частью передовых технологий во всех отраслях. Развитие и достижение лидирующих позиций в мире в области физико-математических наук отражено в Стратегии национальной безопасности РФ. Проект математических центров имеет принципиальное значение и глубокую перспективу: уже сейчас можно говорить о достижении выдающихся фундаментальных и прикладных результатов. Мы все надеемся на продолжение и успешную работу». По мнению эксперта, программа конференции составлена очень удачно: «В программу вошел весь спектр математических исследований, которые ведутся в России», — полагает ученый.

Ценность профессионального общения на площадке конференции отмечали практически все ее участники — от рядовых докладчиков до организаторов. «Мне очень запомнились пленарные доклады, здесь замечательно представлены совершенно разные тематики, и докладчики старались донести свою математику до всех, — отметила Наталья Маслова, ведущий научный сотрудник ИММ УрО РАН, организатор секции “Алгебра”. — Очень долго в России наука развивалась в двух местах — Москве и Санкт-Петербурге. Сеть математических центров создает хорошую возможность для ученых страны видеть друг друга, общаться друг с другом, создавать центры притяжения в разных частях страны и держать страну единым математическим сообществом. Это возможность получить поддержку и чувствовать себя нужными».

«Эта конференция задала уровень для всех следующих. Все продумано до мелочей. Во всем ощущалась забота обо всех участниках. Многих людей я знал по именам, а на конференции познакомился лично, — продолжил мысль своей коллеги Дмитрий Запорожец. — Конференция дала социальные связи, позволила подключить эмоциональный фактор при личном знакомстве ученых друг с другом, благодаря чему в будущем окрепнут и математические контакты. Фактор личного общения, особенно сейчас, когда у нас так много мероприятий онлайн, важен как никогда».

Наш собеседник особенно подчеркнул тот факт, что благодаря программе поддержки математических центров молодежь может целиком сконцентрироваться на математике, не думая о хлебе насущном. Главное, по его мнению, чтобы «этот формат сохранился, и тогда все будет замечательно».

Данил Иванов, старший научный сотрудник ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, кандидат физико-математических наук, доцент

Оргкомитет IV конференции математических центров России

Новые имена

По просьбе «Стимула» организаторы конференции отметили те доклады, содержание которых наиболее тесно связано с повседневной жизнью и при этом содержат значительные математические результаты.

Данил Иванов, старший научный сотрудник ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, кандидат физико-математических наук, доцент, преподает по совместительству в МФТИ на кафедре теоретической механики и на кафедре математического моделирования и прикладной математики, занимается математическим моделированием и разработкой математических алгоритмов управления движением малых космических аппаратов в групповом полете, а также прикладными задачами определения углового движения по измерениям бортовых датчиков спутников, член-корреспондент Международной академии астронавтики. На конференции он представил доклад «Исследование характеристик алгоритмов определения углового и относительного поступательного движения малых космических аппаратов».

Ученый исходит из того, что бурное развитие малых космических аппаратов привело к возникновению новых задач в области определения углового движения в одиночных миссиях и определения относительного поступательного движения в миссиях группового полета. Поэтому в своем докладе он предложил аналитическую методику исследования точностных характеристик алгоритмов определения движения на основе расширенного фильтра Калмана (фильтр Калмана — это инструмент фильтрации данных, основной принцип которого состоит в том, что при фильтрации используется информация о физике самого явления, назван в честь Рудольфа Калмана, американского инженера и исследователя в области теории управления) для космических аппаратов с активной системой управления ориентации и набором бортовых измерительных средств.

Результаты аналитического исследования сравниваются в докладе с результатами математического моделирования работы алгоритмов и с результатами лабораторных исследований характеристик алгоритмов на стендах полунатурного моделирования движения макетов малых спутников с аэродинамическим подвесом, позволяющим имитировать условия орбитального полета. Интересно, что разработанные алгоритмы определения движения были реализованы более чем на 30 отечественных малых космических аппаратах, летные испытания показали адекватность полученных аналитических оценок и надежность предложенных алгоритмов для решения поставленных задач.

Андрей Звягин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математических методов гидродинамики Воронежского государственного университета, специалист по уравнениям с частными производными и математической гидродинамики. Он получил ряд важных результатов по глобальной разрешимости в классе слабых решений для различных моделей неньютоновской гидродинамики, доказал глобальные теоремы существования и изучил качественное поведение решений для начально-краевых задач для ряда моделей движения вязкоупругих сред, в частности для альфа-модели Фойгта, модели Кельвина — Фойгта, модели Лерэ (основные модели биологических тканей, сочетающие упругие и вязкие элементы). На конференции Андрей Звягин представил доклад «О разрешимости математических моделей, описывающих движение вязкоупругих сред с памятью».
На протяжении ста пятидесяти лет математические вопросы, возникающие при изучении гидродинамики, остаются актуальной и быстроразвивающейся областью исследований. Основное внимание математиков при этом обычно уделялось системе уравнений Эйлера (Леонард Эйлер — выдающийся швейцарский, прусский и российский математик, механик, физик и астроном), описывающей движение идеальной среды, и системе уравнений Навье — Стокса (система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости). Но практика показывает, что многие реальные среды, например полимерные растворы, суспензии, не подчиняются моделям классической гидродинамики. Такие модели называются «неньютоновскими средами». Доклад Андрея Звягина на IV конференции математических центров посвящен математическому исследованию начально-краевых задач для одного класса моделей неньютоновской гидродинамики, а именно моделей движения вязкоупругих сред. Такие среды, как следует из названия, сочетают в себе свойства вязкости и упругости.

Андрей Звягин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математических методов гидродинамики Воронежского государственного университета, специалист по уравнениям с частными производными и математической гидродинамики

Оргкомитет IV конференции математических центров России

При изучении большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации, в последние годы появились математические модели с дробными производными. В силу своей сложности математические задачи для таких моделей неньютоновской гидродинамики на сегодняшний день не столь подробно изучены, и существующие математические методы зачастую оказываются не столь эффективными для их решения. Именно на слабой разрешимости для таких моделей сделал акцент докладчик.

Алексей Казаков, профессор кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде, специалист по теории динамических систем, математической теории динамического хаоса и теории странных аттракторов. В докторской диссертации «Псевдогиперболические аттракторы и смешанная динамика в многомерных динамических системах» он разработал новые качественные и численные методы анализа многомерной хаотической динамики, основанные на теории псевдогиперболических аттракторов и теории смешанной динамики, которые применены для исследования моделей неголономной механики, гидродинамики, теории связанных осцилляторов, а также некоторых других задач нелинейной динамики. Результатом работы стало открытие ряда новых динамических явлений: мгновенного возникновения смешанной динамики в результате столкновения аттрактора и репеллера; сильно-диссипативной смешанной динамики. А также обнаружены новые примеры псевдогиперболических аттракторов: дикий спиральный аттрактор в четырехмерной системе дифференциальных уравнений, восьмерочный аттрактор в неголономной модели волчка Чаплыгина, дискретный гетероклинический аттрактор в трехмерном отображении Эно. Открыты новые типы реверса в неголономной динамике твердого тела — для сферических тел со смещенным центром масс.

На конференции Алексей Казаков представил доклад «Об аттракторе Лоренца и псевдогиперболических аттракторах нового типа».

Алексей Казаков, профессор кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде, специалист по теории динамических систем, математической теории динамического хаоса и теории странных аттракторов

Оргкомитет IV конференции математических центров России

Аттрактор Лоренца является первым примером негрубого, но при этом робастного хаотического поведения. Его негрубость обусловлена тем, что при малых возмущениях в нем возникают бифуркации гомоклинических траекторий к седловому состоянию равновесия. Робастность (робастностью называют устойчивость вероятностной оценки к наличию в данных аномальных значений или к нарушению предположений, ограничивающих применение соответствующего статистического метода) аттрактора Лоренца заключается в том, что любая его траектория характеризуется положительным максимальным показателем Ляпунова, и это свойство сохраняется при малых возмущениях. Докладчик в своей работе выдвинул гипотезу, что робастность хаотического аттрактора эквивалентна его псевдогиперболичности. Из этого следует, что, установив псевдогиперболичность аттрактора, исследователь может быть уверен, что наблюдаемый в эксперименте динамический режим действительно является хаотическим.

В недавних работах докладчика были разработаны методы проверки псевдогиперболичности, а также обнаружен ряд новых негрубых псевдогиперболических аттракторов лоренцевского типа. В докладе представлены недавние результаты по данной тематике.

Кирилл Терехов, кандидат физико-математических наук, готовится к защите докторской диссертации по специальности «вычислительная математика», старший научный сотрудник ИВМ РАН, старший преподаватель МФТИ и доцент университета «Сириус», главный разработчик платформы INMOST. Он является ведущим экспертом по численным методам дискретизации уравнений в частных производных и мультифизичных систем таких уравнений на произвольных сетках общего вида (с произвольными многогранными ячейками), параллельным методам решения систем алгебраических уравнений, динамической адаптации расчетных сеток общего вида в параллельном режиме. Динамическая адаптация включает как измельчение и разгрубление многогранных ячеек, так и перемещение узлов сетки в пространстве, что позволяет моделировать процессы в подвижных областях и/или повышать точность расчета. Кирилл Терехов предложил методы дискретизации систем уравнений в частных производных на таких сетках. Суперкомпьютерные технологии, базирующиеся на этих методах, внедрены в открытой программной платформе INMOST, предназначенной для распределенного параллельного математического моделирования.

На конференции Терехов представил доклад «Конечно-объемная технология и многосеточный алгебраический метод для решения много-физических задач». В нем идет речь об устойчивой консервативной конечно-объемной технологии для совместного суперкомпьютерного моделирования нескольких физических процессов на динамических адаптивных подвижных сетках общего вида. Предложенные докладчиком численные методы отличаются устойчивостью как для задач с преобладающей конвективной составляющей, так и для задач седлового типа, формирующихся в процессе совместного решения нескольких физических процессов. Численные методы применены к задачам разной физики, таким как линейная упругость и пороупругость, течение несжимаемой жидкости, механика жестких тел, многофазная фильтрация, взаимодействие электромагнитных полей, течение и свертываемость крови, а также взаимодействие областей с разными физическими законами.

Терехов также предложил два подхода к решению возникающих систем. Первый основан на многоуровневой неполной факторизации второго порядка с переупорядочиванием и масштабированием, второй — на блочном алгебраическом многосеточном методе. Алгебраический многосеточный метод на практике показывает линейную зависимость сложности решения от размера задачи, в том числе для систем седлового характера. Одной из особенностью вычислительной технологии заключается в возможности динамической адаптации расчетных сеток общего вида в параллельном режиме. Динамическая адаптация включает как измельчение и разгрубление многогранных ячеек, так и перемещение узлов сетки в пространстве. Для работы с подвижными сетками был предложен консервативный четырехмерный вариант метода конечных объемов. Динамическая адаптация расчетной сетки позволяет как моделировать процессы в подвижных областях, так и повышать точность расчета при экономии вычислительных ресурсов.

Кирилл Терехов, кандидат физико-математических наук, готовится к защите докторской диссертации по специальности «вычислительная математика», старший научный сотрудник ИВМ РАН, старший преподаватель МФТИ и доцент университета «Сириус»

Оргкомитет IV конференции математических центров России

Роль государства в математическом подъеме

Подводя итоги конференции, Дмитрий Запорожец поделился со «Стимулом» своей оценкой текущего момента в развитии математической науки. «Не уверен, что где-либо и когда-либо можно будет повторить отечественный уровень 1960-х годов в развитии математики. Потому что, по моему мнению, и не только по моему, в то время наша страна была уникальным центром. Мы были явно сильнее всех в мире на тот момент, — говорит Дмитрий Запорожец. — Сейчас, конечно, такого нет. На данный момент математика хорошо развита в Америке, в Европе, в Китае что-то начинается. Я не сказал бы, что мы отстаем от них или опережаем. На мой взгляд, сейчас Европа, Америка и мы примерно достойны друг друга. И сейчас у нас явно лучше, чем было в 1990-х и 2000-х годах. В 1990-х был явный спад. Он начался в 1970-х, а к 1990-м достиг минимума, потом ситуация стала понемногу выправляться. За последние двадцать лет, я считаю, у нас очень хорошая динамика. Математические центры дали дополнительный импульс». Провал 1990-х годов Дмитрий Запорожец объяснил тем, что молодежь почти вся уезжала. «Среди моих однокурсников, одноклассников по математической школе большинство уехало, а те, кто остался, математикой не занимались, — отметил наш собеседник. — Сейчас у нас все очень неплохо: молодежь остается, не вся, конечно, но довольно много. Динамика меня обнадеживает».

Отвечая на вопрос «Стимула», какова может быть роль государства в моделировании нового математического взлета, Дмитрий Запорожец высказал мнение, что она может быть «определяющей», хотя, на его взгляд, это и звучит довольно категорично. «Без государственной поддержки фундаментальная наука не может существовать. Компании не могут заниматься развитием фундаментальной науки, потому что они ориентированы на прибыль, а фундаментальная наука занимается вещами, способными приносить прибыль в очень отдаленном будущем. Поэтому только государство может заниматься развитием и поддержкой фундаментальной науки, ведь если ученому не на что будет содержать семью, он не сможет продолжать свою работу».