Место, где предлагают фантастические идеи

Инаугурационная конференция Альянса четырех городов, а точнее, математиков четырех городов — Бонна, Лондона, Москвы и Триеста — прошла в Высшей школе экономики при поддержке правительственного мегагранта «Зеркальная симметрия и автоморфные формы». Как сказано в пресс-релизе конференции, «основное направление работы Альянса — изучение алгебро-геометрической и арифметической сторон зеркальной симметрии, арифметических свойств уравнений Пикара—Фукса и их модулярных аспектов и таких приложений, как программа классификации многомерных многообразий Фано».

В анонсе обращали на себя внимание загадочные для обывателя названия предметов рассмотрения и акцент на города как носители культуры и компетенций, как субъекты международных отношений и коллабораций с отсылкой к трудам Ричарда Найта — известного специалиста и энтузиаста развития городов, основанного на знаниях.

Чтобы разгадать эти загадки и прояснить акценты, мы встретились с участниками конференции и сотрудниками Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ, созданной благодаря мегагранту: Людмилом Кацарковым, научным руководителем лаборатории; Валерием Гриценко, заведующим лабораторией; Василием Голышевым, научным сотрудником Института проблем передачи информации РАН, Виктором Батыревым из Тюбингенского университета и Доном Загиром, одним из директоров Математического института Общества Макса Планка. Все эти выдающиеся, не побоимся этого слова, математики занимают еще множество разнообразных позиций в различных университетах России и мира, но все мы перечислять не будем.

Инаугурационной конференция называется потому, что до последнего времени, хотя российские ученые и раньше участвовали в работе Альянса четырех городов, его встречи и конференции в России не проводились. С появлением Лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм в ВШЭ ситуация изменилась: у альянса появился партнер в России.

Новая роль города

Как сказал Василий Голышев, «когда пять лет назад мы с Доном Загиром поняли, что в повестке дня появилась организация выступлений ведущих математиков мира перед студентами и аспирантами Москвы, мы задались вопросом: а к кому такой человек формально или неформально приезжает в гости? В академический институт? В какой-то конкретный университет? Нет, получалось, что это решение мелковато, что он должен быть гостем всего городского математического сообщества. Ведь человек приезжает в город, потому что это действительно город знаний. Отсюда один шаг до понимания того, что разговаривают не только профессора и университеты, но и сами города.

Идея Альянса четырех городов основана именно на том соображении, что альянс на уровне людей и университетов — это узко, на уровне стран — слишком широко, а на уровне городов, причем городов с определенной культурой, — в самый раз.

Теоретик городского развития Ричард Найт, о котором вспомнили организаторы конференции, объясняет, что городам присуща собственная культура, иногда латентная, иногда дремлющая в поколениях. Он, в частности, утверждает, что в современных условиях, когда экономическое развитие все больше основывается на знаниях, роль городов, где сосредоточены ресурсы знаний, существенно возрастает, «потому что одним из условий деятельности, основанной на знаниях, является необходимость для тех, кто занят этой деятельностью, находиться в непосредственной близости от ресурсов знаний».

«Уровень математики в России в советское время, — сказал нам Дон Загир, — был, если хотите, в два раза выше, чем в остальном мире, но и после всех пережитых потрясений можно говорить о ее очень высоком уровне».

Валерий Гриценко, заведующий лабораторией Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ

Фотография: Александр Забрин

А за последние годы в математическом сообществе Москвы сложилась принципиально новая ситуация. Активную роль играют Математический институт и Институт проблем передачи информации Академии наук. Возник в 1990-е годы и играет огромную роль в образовании Независимый московский университет. К ним добавился факультет математики Высшей школы экономики. Математика получает развитие в Сколтехе. И, конечно, важным центром остается МГУ. Если посчитать общее количество серьезных математических семинаров, то получаются десятки. В Москве возник математический кластер, который приобретает новое качество: культура математики буквально разлита по городу.

Возможно, именно этим объясняется «чудо», как назвал это явление Валерий Гриценко: в России до сих пор хорошо учат математике. «У меня нет для этого объяснения, для меня это чудо. Хороших студентов, которых во Франции собирают через сито сложнейших экзаменов в École normale, — это три школы примерно по пятьдесят студентов на курсе. Всего сто пятьдесят студентов на всю страну, а если брать теоретиков, то их в два раза меньше. У нас только на математический факультет Вышки поступает на первый курс около ста хороших студентов. И это только в Москве. Откуда они берутся, для меня загадка». А Дон Загир добавил: «Я уже семь лет работаю с европейской школой начинающих студентов-математиков. Это школьники и первый год университета. И самые лучшие из них всегда ребята из России, Украины, вообще из бывшего СССР».

«Москва, — заметил Валерий Гриценко, — хороша еще и тем, что здесь после всех потрясений двадцатого века можно существовать без излишних ограничений и рамок, по крайней мере в математике. Человек, приехавший сюда, может предложить любые смелые идеи, которые он воздержится предлагать, например, в Париже, где вас порой сдерживает консерватизм традиций».

Математика без границ

С точки зрения человека, современной математике непричастного, математики — это люди, которые сидят за столом и решают задачи, и если им нужно обменяться идеями, они могут сделать это через интернет или как минимум через статьи в научных журналах. И мы задались вопросом: а для чего математикам нужно личное общение? И тем более такое масштабное мероприятие, как конференция?

На наши сомнения ответил Дон Загир. «Это нужно, чтобы понимать, куда развивается математика. В личном общении с людьми из разных математических центров приходят идеи, о которых ты даже не догадываешься, что они возможны. Без контактов, без обсуждения ты можешь что-то делать, но все делается быстрее, если ты смог лично обсудить возникающие проблемы с коллегами. Думаю, что если формализовать то, что мы обсуждали эти три дня на наших семинарах, и обсуждать это по переписке, то уйдет целый год. А тут ушло три дня».

Людмил Кацарков, научный руководитель Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ

Фотграфия: Александр Забрин

Это соображение сегодня особенно актуально, поскольку, как подчеркивали наши собеседники, одна из идей конференции — поиск, формирование и обсуждение новых смыслов. Звучало это скорее по-философски, чем по-математически. Но суть в том, что, как заметил Валерий Гриценко, «математика по своему смыслу всегда выходила за свои пределы. Тем более это происходит в наше время. Сейчас, если что-то нельзя оцифровать, то этого и нет. Можно сказать, что нет фактически ничего за пределами математики. Именно поэтому математика сейчас приносит новые смыслы в мир. Это новые смыслы в образовании, в различных науках и, безусловно, новые смыслы в технологиях».

Дон Загир напомнил нам историю голландского математика Арьена Ленстры, который вместе с коллегами много лет назад придумал алгоритм в теории чисел. «Я знаю эту статью очень хорошо, поскольку был ее рецензентом. А кто-то увидел, что этот алгоритм можно использовать для значительного — в несколько раз — увеличения точности GPS, и теперь это очень важная технология. Он сделал это для всего мира совершенно бесплатно. И даже не знал, что их алгоритм использовали, никто им даже не сообщил об этом». А Валерий Гриценко напомнил, что, когда мы пользуемся банкоматом, мы используем две математические теории: криптографию и кодирование. «Когда их развивали, никто не думал, что каждый человек их будет использовать несколько раз в день».

Загадки зеркальной симметрии

Но, конечно, мы должны были попытаться объяснить и самим себе, и читателям загадочное название темы, которая объединила математиков четырех городов. Что такое зеркальная симметрия и чем она интересна математикам? Рассказ наших собеседников мы обобщили и представляем ниже.

Термин «зеркальная симметрия» возник в физике, в теории струн. Один из наиболее известных исследователей теории струн Брайан Грин определил понятие зеркальной симметрии так: радикально отличающиеся геометрические структуры, которые в общей теории относительности имели бы различные физические свойства, в теории струн приводят к эквивалентным физическим моделям.

Этот факт требовал не только физического, но и математического истолкования. И очень быстро зеркальная симметрия привлекла внимание математиков. Кроме того, теория струн позволяет говорить об элементарной частице не как о точке, а как об объекте, у которого есть и объем, и целая геометрия внутри. Этот взгляд дает математикам материал для разработки новых математических теорий — пространство рассматривается не на языке точек, а на языке некоторых объектов —инвариантов этих точек.

Такая ситуация достаточно часто встречалась в истории совместного развития физики и математики: новые идеи, появившиеся сначала в физике, потом приходят в математику, где получают строгую математическую формулировку и необходимый язык описания. Достаточно вспомнить возникновение и развитие, например, квантовой механики. Сейчас, как отметили наши собеседники, наступил такой же период, причем именно последнее десятилетие одно из самых интересных с этой точки зрения.

«Когда я был молодым математиком, никто не думал, что будут такие тесные отношения между математикой и физикой, — рассказывает Дон Загир. — Но теперь невозможно думать о развитии математики без физики, и наоборот. Я занимаюсь теоретической математикой, но каждый год пишу две-три совместные статьи с физиками».

В математике суть гомологической зеркальной симметрии, как пояснили наши собеседники, сформулировал наш соотечественник, один из самых известных ученых-теоретиков мира Максим Концевич, кстати, защитивший диссертацию в Боннском университете под руководством Дона Загира. Он интерпретировал этот физический теоретический эффект, на котором физики базируют описание строения нашей Вселенной, как двойственность между двумя типами геометрий, связанных в рамках очень абстрактной теории категорий.

Виктор Батырев, профессор Тюбингенского университета

Фотография: Александр Забрин

Например, как отметил Виктор Батырев, в классической математике

имеется двойственность между платоновыми1 телами, которые дают самые известные примеры полярно двойственных пар многогранников:

куб–октаэдр, икосаэдр–додекаэдр. Речь идет о том, что если мы возьмем

куб и соединим центры граней, то получим октаэдр. Такую же операцию

можно повторить с октаэдром, тогда мы вернемся к кубу. Эти два

геометрических объекта двойственны. Для зеркальной симметрии важны

подобные геометрические взаимосвязи гораздо более сложных структур.

Эта двойственность на том классе объектов, которая интересует физиков, многообразиях Калаби—Яу (мы не будем и пытаться объяснить, что это такое), еще не доказана, но она, как сказали наши собеседники, точно сформулирована на очень общем языке, над которым сейчас работают разные группы математиков — специалисты по алгебраической геометрии, симплектической геометрии, специалисты по матфизике, по дифференциальным уравнениям, по автоморфным формам.

Проблема в том, что в разных отраслях математики, а тем более в физике, используются разные языки даже при описании одинаковых объектов. Как заметил все тот же Брайан Грин, «по мере размытия теорией струн границ каждой науки — физики и математики — различия в языке, методах и стиле исследований становились всё более явными». Перевод с одного языка на другой оказался очень серьезной и очень интересной проблемой. Одна из задач, которые решают такие конференции, и заключается в том, чтобы помочь тем и другим в переводе.