Месяц до пика пандемии

Технологию математического моделирования распространения SARS-CoV-2специалисты Центра компетенций НТИ Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого(СПбПУ) начали разрабатывать в самом начале пандемии — в феврале 2020 года. В качестве основы взяли модифицированную математическую SEIR*-модель Кермака — Маккендрика (Susceptible — Exposed — Infected — Recovered, «восприимчивые — контактные — инфицированные — выздоровевшие») — модель, содержащую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для описания распространения эпидемии заболеваний с переменным инкубационным периодом, периодом инфекционности и переменной во времени интенсивностью эффективных контактов. В качестве неизвестных функций выступали число восприимчивых индивидов, число индивидов в инкубационном периоде, число инфицированных и переболевших индивидов.

И вот уже 100 недель подряд, с начала распространения эпидемии коронавируса в России, петербургские математики и инженеры формируют прогноз развития эпидемии SARS-CoV-2 на основе численных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определяют числоактивных больных с учетом особенностей доминирующих штаммов, хода вакцинации, характера действующих противоэпидемических ограничений. На выходе группа исследователей получает девять кривых, где первая кривая — самая пессимистичная (она служит для оценки необходимых ресурсов системы здравоохранения), девятая — самая оптимистичная, ей отвечают жесткие условия карантина, который в России не вводился, а потому эта кривая не реализовывалась.

Исследование развивается. Ученые на системной основе применяют интервальный подход в условиях неопределенности исходных данных, параметров и коэффициентов математической модели, регулярно анализируют чувствительность решений системы дифференциальных уравнений к изменению параметров и коэффициентов, используют процедуры верификации, валидации и калибровки математической модели и численных решений с целью повышения уровня адекватности математического прогнозирования распространения эпидемии COVID-19.

Принципиально важно, что все эти подходы к математическому моделированию и прогнозированию носят системный характер и тесно связаны с разработанным и утвержденным национальным стандартом ГОСТ Р 57700.37–2021 «Компьютерные модели и моделирование. Цифровые двойники изделий. Общие положения», в разработке которого самое активное участие принимал Центр НТИ СПбПУ, пояснил «Стимулу» Алексей Боровков, проректор по цифровой трансформации СПбПУ, руководитель научного центра мирового уровня СПбПУ «Передовые цифровые технологии» и Центра компетенций НТИ СПбПУ «Новые производственные технологии».

Февральские пики

Свежий прогноз сформирован на основе наблюдения за распространением штамма омикрон в российской популяции. Новый штамм отличается более коротким инкубационным периодом и более высокой контагиозностью по сравнению с дельтой, а также сглаженной клинической картиной заболевания.

Как и прежде, волна начинается со столиц. Совокупный вклад трех крупных агломераций — Москвы, Санкт-Петербурга и Московской области — в эпидемическую картину России, по оценкам специалистов, сейчас достигает 37,6%. «16,89% приходится на Москву, 13,6 — на Санкт-Петербург и 7,2 процента — на Московскую область», — уточнил Алексей Боровков и заметил, что этот вклад «монотонно уменьшается», так как новую волну эпидемии подхватывают регионы. Так, вклад Москвы в общее число заболевших за последние десять дней упал на треть — с 32 до 17 процентов.

Санкт-Петербург обычно отстает от столицы на две недели. Но в этот раз пик заболеваемости в Петербурге специалисты СПбПУ прогнозируют на декаду раньше, чем в столице: на 15 февраля. Причем развитие эпидемии в городе на Неве сместилось к более пессимистичному сценарию.

—Процесс распространения SARS-CoV-2 в Петербурге за неделю перешел с пятой средней кривой на вторую, более пессимистичную, прирост числа активных больных за прошедшую неделю составил 126,7 процента. Пятая средняя кривая, которую Петербург “покинул” неделю назад, дает оценку 153 тысячи заболевших на пике текущей волны, вторая кривая — 221 тысячу человек, — рассказал«Стимулу» Алексей Боровков. — 2 февраля в городе было 162 752 активных больных. Максимум заболеваемости в Петербурге мы прогнозируем на 15 февраля, в Москве — на 25‒27 февраля. Число заболевших в столице может достичь 750 тысяч человек. Сейчас процесс распространения инфекции идет по четвертой кривой, прирост числа активных больных за прошедшую неделю составил 59,4 процента.Пессимистичный прогноз (первая кривая) дает оценку около миллиона человек активных больных на пике пятой волны в Москве.

Ситуация в России развивается в рамках общемирового тренда. Как заметил Алексей Боровков, многие страны сейчас бьют антирекорды по заболеваемости. Так, еженедельный прирост заболевших составляет: в США — 4-5 млн человек, во Франции — 2,54 млн, в Индии — 2 млн, в Италии — 1,1 млн. В России на прошлой неделе, а это 100-я неделя распространения эпидемии COVID-19 в нашей стране, был зафиксирован прирост 628 816 человек. Пик эпидемии по России в целом ожидается в начале марта.

Развитие технологии

За два года существования технологии характер расчетов не изменился, но работа над уточнением математических моделей велась постоянно, соответственно, и прогнозы стали точнее, отмечает Алексей Боровков.

—Третьего февраля 2020 года, когда занимавший на тот момент пост заместителя министра здравоохранения Владимир Уйба (сейчас возглавляет Республику Коми. — «Стимул») пригласил меня на совещание по угрозе распространения COVID-19 в России, я привез в Москву наработки, необходимые для создания математической модели в кратчайшие сроки, — рассказал Алексей Боровков. — Нужно было разработать модель для прогнозирования за месяц, ну, и результаты требовались ежедневно - это достаточно  жесткое требование. Вначале для отладки и калибровки математической модели распространения COVID-19 в России мы использовали данные из Китая (Ухань) и Италии (Ломбардия) — эти страны приняли на себя первые удары пандемии. Брали статистику оттуда, закладывали в собственную модель и сравнивали получившиеся графики с реальным развитием эпидемии. Как только пошел подъем заболеваемости в нашей стране, для корректировки и уточнения использовались российские данные.

С тех пор математическая модель описания распространения COVID-19 значительно уточнилась, увеличилось число уравнений в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Нам очень помогли философия и методология цифровых двойников. Исходные данные при математическом моделировании эпидемии, как правило, неточные, неполные и ненадежные. Это предопределяет сложности в разработке математической модели с высоким уровнем адекватности реальному процессу распространения эпидемии. Так, например, при проектировании и виртуальных испытаниях автомобиля отличия результатов, полученных с помощью цифрового двойника, от результатов, полученных в натурных испытаниях реального автомобиля, составляют единицы и доли процентов. Как правило, такая точность в медицине и эпидемиологии недостижима. Но принципы те же: специалистам постоянно приходится балансировать между противоречащими друг другу показателями и характеристиками, “искать компромисс”. Поэтому мы отказались от поиска точной даты пика волны и точного количества активных больных на пике, мы применили инженерный подход – определять все характеристики с инженерной точностью, например, +/- 5%, более того, стали применять интервальный подход и строить девять решений системы дифференциальных уравнений, что позволило отслеживать изменение ситуации на “микроуровне” и отслеживать перестроения с кривой на кривую.

Важным источником информации для нас стали математические модели, прежде разработанные и применявшиеся в медицине — эпидемиологии и иммунологии. Когда я познакомился с этими наработками, то увидел, что в них учитывается такое большое количество исходной информации — параметров, коэффициентов, — что даже если их все удастся собрать и использовать, то для построения прогноза потребуется полгода. Это недопустимо долго, фактически, и не несет какой-либо практической ценности. Поэтому среди множества параметров в серии цифровых (виртуальных) испытаний определили критические. С большим отрывом здесь идет переменный во времени коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием (интенсивность эффективных контактов).

По мере развития технологии мы сформировали сегрегационную модель — добавили дифференциальное уравнение с неизвестной функцией, описывающей изменение во времени числа индивидов, находящихся в изоляции, соответственно были введены функции, описывающие сценарии ввода или отмены мер изоляции, что позволило перейти к осмысленному анализу эпидемических и социально-экономических процессов, что было реализовано, например, в Республике Коми.

Затем в систему дифференциальных уравнений было добавлено уравнение с неизвестной функцией, описывающей изменение во времени числа индивидов, обладающих иммунитетом в результате вакцинации, и появились новые функции, зависящие от времени: соответствующие темпам вакцинации в регионе (естественно, с поправкой на эффективность вакцины), определяющие окончание действия иммунитета в результате вакцинации и определяющие окончание действия естественного иммунитета, приобретенного в результате заболевания.

Естественно, в ходе исследования уточняются и такие характеристики, как инкубационный период, период инфекционности, интенсивность эффективных контактов и многие другие.

Конечно, в математическом моделировании на протяжении всего двухлетнего исследования, на регулярной основе применяются интервальный подход в условиях неопределенности исходных данных, параметров и коэффициентов математической модели, анализ чувствительности решений системы дифференциальных уравнений к изменению параметров и коэффициентов, наконец, процедуры верификации, валидации и калибровки математической модели - все это делается с целью повышения уровня адекватности математического прогнозирования распространения эпидемии COVID-19.

Работа систематически ведется по трем регионам: Москва, Санкт-Петербург и Республика Коми. Выбор Москвы и Петербурга обусловлен тем, что они опережают в развитии эпидемии все регионы России, причем раньше Петербург отставал от Москвы примерно на две недели. Сейчас этот тренд поменялся, возможно, это связано с тем, что Петербург "пропустил" одну волну -четвертую, сейчас в Москве идет пятая волна, а в Петербурге  — четвертая. Республика Коми примечательна тем, что по распоряжению главы республики министерство здравоохранения регулярно поставляет нам для анализа, изучения, математического моделирования и прогнозирования полные объективные данные. На разных этапах моделирования и прогнозирования активно подключались к использованию прогнозов представители Мурманской и Новгородской областей, Мордовии, Северной Осетии, Дагестана, Камчатки. Специалисты  предоставляли им более ста слайдов с аналитикой по миру и России, детальным анализом и графиками прогноза по конкретному региону.

За время пандемии многие исследовательские группы объявили, что зашли в научный тупик и не будут больше формировать и публиковать свои прогнозы. Но только не группа СПбПУ.

Международный уровень

Прогнозировать ход эпидемии с высокой точностью, по словам профессора Боровкова, получается на глубину двух месяцев. Летом 2020 года группа формировала для властей регионов рекомендации, стоит ли начинать учебный год в обычном режиме или лучше в дистанционном. Все четыре волны пандемии прогнозисты СПбПУ выявили и отследили, непрерывно совершенствуя методику.

Алексей Боровков рассказал о выходе исследовательского проекта на международный уровень, отметив, что ряд статей по теме исследования опубликован в престижных научных журналах. По его словам, уже сформирована международная коллаборация с научными коллективами стран БРИКС (Бразилия, Россия, Индия, Китай, ЮАР), которая будет проводить исследования в этом актуальном направлении по согласованной программе. «Все понимают, что пандемия — это надолго, что в каждой стране эпидемия имеет специфику, более того, зачастую данные по стране являются закрытыми, но всех интересуют математические модели, методологии и технологии математического моделирования и прогнозирования как текущих эпидемий, так и будущих», — пояснил Алексей Боровков.